“冷静……仔细分析……”秦风闭上眼睛，脑海中刚刚“吞”下去的无数知识点如同星辰般闪耀。
直线l的斜率为-1，则直线m的斜率为1。
直线m的方程为 y−12=1(x−1)y - frac{1}{2} = 1(x - 1)y−21=1(x−1)，即 y=x−12y = x - frac{1}{2}y=x−21。
将直线m的方程代入椭圆方程 x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1，得到关于x的一元二次方程：
x22+(x−12)2=1frac{x^2}{2} + (x - frac{1}{2})^2 = 12x2+(x−21)2=1
x22+x2−x+14=1frac{x^2}{2} + x^2 - x + frac{1}{4} = 12x2+x2−x+41=1
32x2−x−34=0frac{3}{2}x^2 - x - frac{3}{4} = 023x2−x−43=0
6x2−4x−3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2−4x−3=0
设M(x₁, y₁)，N(x₂, y₂)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = frac{4}{6} = frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=−36=−12x_1 x_2 = -frac{3}{6} = -frac{1}{2}x1x2=−63=−21。
∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2|PM| cdot |PN| = sqrt{(x_1-x_P)^2 + (y_1-y_P)^2} cdot sqrt{(x_2-x_P)^2 + (y_2-y_P)^2}∣PM∣⋅∣PN∣=(x1−xP)2+(y1−yP)2⋅(x2−xP)2+(y2−yP)2
由于点M, N在直线 y=x−12y = x - frac{1}{2}y=x−21 上，且P(1, 1/2)也在这条直线上（因为直线m过P点），所以PM和PN的表达式可以简化。
实际上，P是弦MN上的一个定点。
∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)|PM| cdot |PN| = |(x_1-x_P)(x_2-x_P)| cdot (1+k_m^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣(x1−xP)(x2−xP)∣⋅(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。
∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)|PM| cdot |PN| = |x_1x_2 - x_P(x_1+x_2) + x_P^2| cdot (1+1^2)∣PM∣⋅∣PN∣=∣x1x2−xP(x1+x2)+xP2∣⋅(1+12)
∣PM∣⋅∣PN∣=∣−12−1(23)+12∣⋅2=∣−12−23+1∣⋅2=∣−3+4−66∣⋅2=∣−16∣⋅2=13|PM| cdot |PN| = |-frac{1}{2} - 1(frac{2}{3}) + 1^2| cdot 2 = |-frac{1}{2} - frac{2}{3} + 1| cdot 2 = |-frac{3+4-6}{6}| cdot 2 = |-frac{1}{6}| cdot 2 = frac{1}{3}∣PM∣⋅∣PN∣=∣−21−1(32)+12∣⋅2=∣−21−32+1∣⋅2=∣−63+4−6∣⋅2=∣−61∣⋅2=31。
这个计算过程，秦风写得极为流畅。
接下来是计算 |PA|·|PB|。
直线l的方程为 y−12=−1(x−1)y - frac{1}{2} = -1(x - 1)y−21=−1(x−1)，即 y=−x+32y = -x + frac{3}{2}y=−x+23。
代入椭圆方程 x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：
x22+(−x+32)2=1frac{x^2}{2} + (-x + frac{3}{2})^2 = 12x2+(−x+23)2=1
x22+x2−3x+94=1frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + frac{9}{4} = 12x2+x2−3x+49=1
32x2−3x+54=0frac{3}{2}x^2 - 3x + frac{5}{4} = 023x2−3x+45=0
6x2−12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2−12x+5=0
设A(x₃, y₃)，B(x₄, y₄)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = frac{5}{6}x3x4=65。
同样，P(1, 1/2)是弦AB的中点。
∣PA∣⋅∣PB∣=∣(x3−xP)(x4−xP)∣⋅(1+kl2)|PA| cdot |PB| = |(x_3-x_P)(x_4-x_P)| cdot (1+k_l^2)∣PA∣⋅∣PB∣=∣(x3−xP)(x4−xP)∣⋅(1+kl2)，这里 kl=−1k_l=-1kl=−1。
由于P是AB中点，所以 xP=x3+x42x_P = frac{x_3+x_4}{2}xP=2x3+x4，这意味着 x3−xP=−(x4−xP)x_3-x_P = -(x_4-x_P)x3−xP=−(x4−xP)。
因此，∣PA∣⋅∣PB∣=∣PA∣2=(x3−xP)2(1+kl2)|PA| cdot |PB| = |PA|^2 = (x_3-x_P)^2 (1+k_l^2)∣PA∣⋅∣PB∣=∣PA∣2=(x3−xP)2(1+kl2)。
x3,x4x_3, x_4x3,x4 是方程 $6x^2 - 12x + 5 = 0的两个根。判别式的两个根。 判别式的两个根。判别式Delta = (-12)^2 - 4 cdot 6 cdot 5 = 144 - 120 = 24 ＞ 0。。 。x_{3,4} = frac{12 pm sqrt{24}}{12} = 1 pm frac{2sqrt{6}}{12} = 1 pm frac{sqrt{6}}{6}。所以，。 所以，。所以，x_3 = 1 - frac{sqrt{6}}{6}，，，x_4 = 1 + frac{sqrt{6}}{6}(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。|x_3-x_P| = |1 - frac{sqrt{6}}{6} - 1| = frac{sqrt{6}}{6}。。 。|PA|^2 = (frac{sqrt{6}}{6})^2 (1+(-1)^2) = frac{6}{36} cdot 2 = frac{1}{6} cdot 2 = frac{1}{3}。所以，。 所以，。所以，|PA| cdot |PB| = frac{1}{3}$。"