“时间不多了，该解决那道‘拦路虎’了！”秦风目光一凝，将所有课本和习题册推到一边，深吸一口气，重新将注意力聚焦到那道系统发布的数学难题上。
那是一道以椭圆为背景，结合了函数、导数、不等式证明以及参数范围探讨的超级综合大题。题目条件繁复，设问层层递进，计算量和思维量都极其恐怖。
若是四十分钟前，秦风看到这道题，恐怕连题目都读不明白，更别提解题了。
但现在，当他再次审视这道题目时，感觉却截然不同。
那些曾经如同乱码般的数学符号和专业术语，此刻在他眼中，都变得清晰明了。他甚至能从那冗长的题干中，迅速剥离出核心的已知条件和待求问题。
“第一问，求椭圆C的标准方程……这个简单，利用离心率和点在椭圆上，联立方程组即可。”
秦风的思路异常清晰，拿起笔，在草稿纸上飞快地演算起来。
e=ca=22e = frac{c}{a} = frac{sqrt{2}}{2}e=ac=22
x02a2+y02b2=1frac{x_0^2}{a^2} + frac{y_0^2}{b^2} = 1a2x02+b2y02=1
a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2a2=b2+c2
几个基础公式在他脑海中自动浮现，代入题目给出的具体数值，一系列运算行云流水。
“a²=2，b²=1。所以椭圆C的方程为：x22+y2=1frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1。”
仅仅两分钟，第一问便被他轻松拿下。
“第二问，设直线l与椭圆C交于A, B两点，若点P(1, 1/2)满足PA向量 + PB向量 = 0向量，求直线l的斜率k。”
“PA + PB = 0，意味着P是AB的中点。利用点差法或者韦达定理……”
秦风的笔尖在草稿纸上飞舞，各种解题方法在他脑海中闪现，并被迅速筛选出最优路径。
设直线l的方程为 y−12=k(x−1)y - frac{1}{2} = k(x - 1)y−21=k(x−1)，代入椭圆方程，消去y，得到一个关于x的一元二次方程。
(1+2k2)x2−(4k2−2k)x+(2k2−2k−32)=0(1+2k^2)x^2 - (4k^2 - 2k)x + (2k^2 - 2k - frac{3}{2}) = 0(1+2k2)x2−(4k2−2k)x+(2k2−2k−23)=0
利用韦达定理 xA+xB=4k2−2k1+2k2x_A + x_B = frac{4k^2 - 2k}{1+2k^2}xA+xB=1+2k24k2−2k。
因为P是AB中点，所以 xP=xA+xB2=1x_P = frac{x_A+x_B}{2} = 1xP=2xA+xB=1。
4k2−2k2(1+2k2)=1frac{4k^2 - 2k}{2(1+2k^2)} = 12(1+2k2)4k2−2k=1
解这个关于k的方程，得到 k=−1k = -1k=−1。
“第二问，k=-1，也解决了！”秦风的嘴角不自觉地勾起一抹笑容。
这种攻克难题的快感，是他以前从未体验过的！
真正的挑战，是第三问。
“第三问，在第二问的条件下，过点P作直线m垂直于l，交椭圆C于M, N两点。试问是否存在一个常数λ，使得 |PM|·|PN| = λ |PA|·|PB| 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。”
这一问，涉及弦长公式、向量模长、以及恒成立问题，计算量和思维难度都陡然提升了好几个档次。
秦风的眉头微微蹙起。
他能感觉到，这一问的难度，已经超出了他刚刚强行记忆下来的那些“套路”所能直接解决的范畴。它需要更深层次的理解和更灵活的运用。"